3次方程式の解の公式

※一部の数式は長すぎて表示できません。画像をスクロールしてください。
三次方程式の一般形は次のようになります。

まず、三次の係数aで割って次のような形の方程式にします。

…（１）次の関係式でyを定めます。

…（２）この関係式をxについて解いて、xの方程式に代入することにより、次のような（２次の項が消去された）yの方程式を得ます。

…（３）次の関係式でu、vを定めます。

…（４）代入して整理すると、次のような関係式が得られます。

…（５）さらに第２式を３乗することにより、次のような関係式が導かれます。

…（６）これにより、u³、v³を解とする２次方程式を作ることができます。

…（７）これを解いて、解を得ます。

…（８） z₁,z₂の立方根がu,vです。 z₁の立方根をu、z₂の立方根をvとしても一般性は失われません。複素数の範囲で立方根は３個ありますから、uの値が３個、vの値が３個出てくるので、組(u,v)としては９個の可能性がありますが、そのうちで（５）の第２式を満たすものは３組です。このうちの一組を

…（９）で表すことにすると、（５）のすべての解は次のように表されます。

…（10）（４）の第１式より

…（11）（２）より

…（12）これが最初の三次方程式の解です。
もとの係数a,b,c,dだけで表したものを1行に書くと次のようになります（長い）。ただし書きなどは省略しました。

三次方程式の解の公式について、以下のPDFで説明しています。

三次方程式の解の公式